Tentukan hasil dari \( \displaystyle \int \frac{e^{2x} + 1 }{ e^{2x}-1 } \ dx = \cdots \ ? \)
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi. Misalkan \( u = e^x – e^{-x} \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u = e^x-e^{-x} \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= e^x + e^{-x} \\[8pt] dx &= \frac{du}{e^x+e^{-x}} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int \frac{e^{2x} + 1 }{ e^{2x}-1 } \ dx &= \int \frac{e^{2x} + 1 }{ e^{2x}-1 } \cdot \frac{e^{-x}}{e^{-x}} \ dx \\[8pt] &= \int \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} \ dx \\[8pt] &= \int \frac{e^x+e^{-x}}{u} \cdot \frac{du}{e^x+e^{-x}} \\[8pt] &= \int \frac{1}{u} \ du \\[8pt] &= \ln|u| + C \\[8pt] &= \ln|e^x-e^{-x}| + C \end{aligned}